扫描式Fabry-Perot干涉仪

法布里－珀罗干涉仪是用于高分辨率光谱的光学谐振腔。具有以高精度检测和解析透射光谱精细特征的能力，通常用于确定激光腔的共振模式，该共振模式通常为窄线宽的紧密分布光谱峰。

空间模式结构

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图 1: 低阶TEM模式的空间模式结构。图转自Further Development of NICE-OHMs.2

法布里－珀罗干涉仪最常见的配置是一个谐振腔，该谐振腔由两个相对的高反射率但部分透射的球面透镜组成。这种谐振腔可以通过以下一组参数充分表征：

• 谐振腔长度或反射镜间距：L

• 输入和输出反射镜的曲率半径分别为：R1和R2

• 输入和输出反射镜的透射系数、反射系数和损耗系数：t1,2、r1,2和l1,2，相关关系：t1,2 + r1,2 + l1,2 = 1

通过输入反射镜进入谐振腔的光波将根据反射镜的反射率在两个反射镜之间大量往返传播。在这段时间内，光波经过干涉相长或相消。干涉相长会增强波并建立腔内电场。这对应于在谐振腔反射镜之间形成驻波图案，其在谐振腔长度L等于波长的一半的整数倍qλ/2时发生。谐振腔不支持所有不符合此标准的其他波长，并且形成干涉相消。

通过对近轴波动方程假定一个一般的高斯光束解，可以证明1谐振腔内部只能存在以下频率νqmn：

其中q、m和n是模数，可为正整数或零，而c是光速。 谐振腔的g参数g1,2由下式给出

其中，R1,2 > 0为凹面镜，R1,2 < 0为凸面镜。这些频率被称为Gaussian横向电磁(TEM)模的阶数(m,n)或Hermite-Gaussian模，通常表示为TEMm,n。模式编号m和n与横模相关联，横模描述了垂直于光轴的强度模式，而q对应于纵模。m = n = 0 的TEM00模称为TEM基模或纵模，而m、n > 0的TEM模称为高阶TEM模。图1显示了多种模的空间强度模式。m和n分别对应于垂直和水平方向上的节点数。对于近红外区域中的光，q约为106。谐振腔的g参数通常在所谓的稳定性标准中找到。当谐振腔的g参数满足条件0 ≤ g1g2 ≤ 11 时，称为稳定腔。

法布里－珀罗干涉仪的透射光谱

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图 2: 反射镜反射率为99.7％、80％和4％的法布里－珀罗干涉仪的模式光谱，分别由蓝色，红色和绿色曲线表示。99.7％的反射率对应于SA200系列，其自由光谱范围为1.5 GHz。4％的反射率对应于玻璃板平行表面之间反射所产生的典型边缘效应。

对于空间模式与TEM00基模匹配的光，即高斯光束的波阵面与反射镜面完全匹配且入射光束与谐振腔光轴对齐，无更高阶的模(m、n > 0)。谐振腔的传输频谱仅包含彼此之间参数q不同的TEM00模式。两个连续的TEM00模νq00和νq+1 00之间的距离称为谐振腔的自由光谱范围(FSR)，由下式给出

该方程适用于由两个反射镜组成的所有线性谐振腔。谐振腔的传输强度It，为模式q失谐频率的函数：Δq = ν-νq，由众所周知的艾里公式给出3

其中，I0是入射到仪器上的光强度，所有其他变量如上所述。右图2显示了法布里－珀罗的典型透射光谱。从上述方程可以看出，谐振透射函数Tcres为：

这清楚表明，由于所有反射镜系数都与t1,2 + r1,2 + l1,2 = 1关联，因此谐振透射不仅取决于单个反射镜的透射率，还取决于反射镜的反射系数和损耗系数。人们一直在努力使吸收损耗尽可能小，以获得给定的r1,2组的最大透射率。

从公式(1)和(2)可以看出，高阶横模的位置很大程度上取决于反射镜间距L和反射镜的曲率半径R1,2。对于特殊情况，当两个反射镜具有相同的半径，即R1 = R2 = R，并且反射镜之间的距离等于反射镜半径，即L= R时，谐振腔称为共聚焦谐谐振腔。图3显示了以平行且距离光轴H进入谐振腔光束的典型光线轨迹。所有Thorlabs法布里－珀罗干涉仪型号均基于这种共聚焦谐振腔设计。对于这种配置，上面的公式(1)可简化为

从该方程可以得出两个重要的结论。首先，所有模式都是简并的，即存在与基模TEM00共享相同频率的高阶TEM模(如TEMq' 00、TEMq'-1 02、TEMq'-1 11、TEMq'-1 20、TEMq'-2 40、TEMq'-2 31、TEMq'-2 22、…共享相同的频率)。其次，频谱显示出规则的等距模式结构，两个连续模式之间的间隔由c/4L给出。如果不特别注意空间模式匹配，则抑制高阶模的可能性就很小。因此在两个连续的基模(TEMq00和TEMq+1 00)之间存在几个高阶模式，并且模式之间的等距间距使FSR等于c/4L。为了说明高阶模的存在，Thorlabs法布里－珀罗干涉仪的FSR给出的所有值均指所谓的共聚焦自由光谱范围νFSR,conf = c/4L。图3中的箭头突出显示νFSR和νFSR,conf之间的差异。沿着谐振腔的光轴仔细对准，并且对入射光进行近完美空间模式匹配，可以消除光谱中的所有其他模式。下图4显示了具有近完美模式匹配的配置。高阶模式仍然存在，但是比基模小。对准的进一步调整将最终区分光谱中的所有其他模式。

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图 3: 共焦法布里－珀罗谐振腔的示意图。半径R1 = R2(棕色箭头)的反射镜间距L等于反射镜半径。绿色实线表示在高度H处进入谐振腔的离轴输入光束的光线轨迹。绿色虚线表示由第二反射镜透射的光束。通过第一反射镜透射的光未示出。

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图 4: 具有近完美空间模式匹配的共焦谐振腔的光谱，由于仅激发基模，所有其他模式都被消除。TEMqmn标签仅表示在该特定频率下包含的一种模式。所有模式都是简并的，如本文所述，还有其他模式共享相同的频率。

精细度与模式宽(分辨率)

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图 5: 当两个洛伦兹线形由其FWHM分开，则满足可解析的瑞利判据。

法布里-珀罗干涉仪的性能在很大程度上取决于反射镜面的反射率。低反射镜将产生较宽的透射峰，而高反射镜将产生较窄的透射峰。镜面反射率在干涉仪分辨透射光谱特征方面起着重要作用。除自由光谱范围外，法布里-珀罗干涉仪还有两个更重要的量：精细度和模式宽度。具有相同反射系数r的反射镜精细度F为

对于共焦干涉仪，有时可以很方便地表示为

比起具有较低精细度的干涉仪，具有较高精细度的干涉仪将产生更窄的透射峰。因此，更高精细度可提高干涉仪的分辨率，使其更容易区分彼此间隔很近的透射峰。根据瑞利判据(见图5)，当峰被每个峰的半高宽(FWHM)分开时，两个相同的洛伦兹线形状是可分辨的，表示为ΓFWHM。FWHM模式宽度(也称为分辨率)与共焦谐振腔的精细度和FSR有关，具体取决于

这是要解析的两个峰之间最小允许间隔的量度。例如，具有1.5 GHz FSR和250精细度的干涉仪将为6 MHz的FWHM，因此只要峰值相隔至少6 MHz，就能区分透射光谱的特征。对于可见光，这对应于约10 fm(10-14 m)的波长分辨率。

Thorlabs提供晶体膜反射镜，可在1550 nm处实现99.999%的反射，这相当于反射系数为0.99999或精细度为314,158。如果FSR为1.5 GHz，则使用这些晶体膜反射镜的干涉仪分辨率约为4.8 kHz，比前一个示例精细了四个数量级。

精细度的进一步计算

实际上，所测量的精细度具有许多影响因素：反射镜面的反射率精细度(上述简单地表示为F)、反射镜面的质量精细度FQ、以及由于反射镜照明条件(光束对准和直径)引起的精细度Fi。系统的整体精细度Ft由关系式4给出

通常，反射率精细度(公式(8))是有效的精细度，在其他影响因素可以忽略不计的情况也是如此。对于Thorlabs的干涉仪，在适当的照明条件下工作时，反射率精细度占主导地位。b

公式(10)中的第二项涉及FQ，其解释了线形对称加宽引起镜面不规则性。这些不规则性的影响基于随机位置处相关的路径长度差异，导致线形模糊。用于制造腔镜基板的制造过程必须始终确保与谐振腔规定的总精度相比，FQ的影响可忽略不计。换句话说，基材表面的形状决不能成为精细度的限制因素。

公式(10)中的最后一项涉及照明精度Fi将随着光束直径的增加或输入光束的偏移而降低分辨率。当精细度受Fi限制时，测得的线形将显示出不对称。不对称性是由于同轴光束和离轴光束之间的路径长度差异所致，引起反射镜面间距不同，以满足最大透射标准。

为了量化可变路径长度对Fi的影响，假设一个理想的单色输入，即具有单位振幅的波长增量函数，进入与光轴同轴的法布里－珀罗腔，并具有光束半径a。在H = +e处(其中e无限小但不为零)，进入干涉仪的光会对透射光谱的偏差产生微不足道的影响。在H = +a处进入腔的光将导致透射的输出光谱发生偏移，因为腔的光路长度将缩短a4/R3的近似距离。假设输入光束具有均匀的强度分布，由于光程长度的变化，透射光谱的强度将显得均匀且更宽。因此波长输入增量函数将产生FWHM为H4/R3(参考文献6)的输出峰。

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图 6: 利用公式(12)，对于SA200和SA210法布里－珀罗干涉仪，总精细度Ft是光束直径2H的函数。由633 nm的波长λ计算精细度。

假设只有Fi对总精细度有重要影响，则等式(9)可用于计算理想输入光束的Fi。将λ/ 4替换为FSR，(H4/R3)替换为FWHM，得出：

λ/4替换为FSR可理解为谐振腔扩展λ/4，将纵模更改为另一种纵模。对于具有真实光谱分布的输入光束，移位的影响将是一系列连续的移位线形。应该注意的是，偏移总是在一个方向上，由于光束过大或未对准，导致线形变宽或不对称。

现在，可以使用公式(10)找到高反射率反射镜镜(r ≈ 1)情况下的总精细度，其中包括F和Fi(注意：Fq对Ft的影响仍然可以忽略不计)：

公式(12)用于估计光束直径对法布里-珀罗干涉仪的总精度的影响，通常估计过高，并作了一些假设。第一个假设是光束的直径与反射镜的直径相同。实际上，光束的直径常明显小于反射镜的直径，这也有助于减少球面像差。5第二个假设是，光线聚焦到束腰尺寸无穷小。即使对于单色光，最小束腰尺寸也受衍射限制，在多模应用中，焦点处的束腰尺寸可能会很大。图6提供了SA200和SA210法布里-珀罗干涉仪在633 nm处评估公式(12)的图，它们的腔长分别为50 mm和7.5 mm。图中的迹线假设SA200的反射率精度等于250，SA210的反射率精度等于180，这是我们的干涉仪中使用的反射镜的典型值。

腔衰荡时间和腔内功率累积

当光波在谐振腔内经过多次往返行程时，光会在内部存储一定的时间，并且只有一小部分能量会因为入射到输入或输出反射镜而泄漏出去。换句话说，光波在谐振腔内部具有一定的寿命。该时间称为腔衰荡时间或腔存储时间τcav，由下式给出

该关系表明τcav随着腔的精细度增加，即精细度和镜面反射率越高，谐振腔内部存储的光越长。与此相符，另一个重要的量是所谓的腔内功率累积，它由腔内光强度Ic和入射强度之比定义

对于阻抗匹配的谐振腔(即，谐振反射消失)，由F/π给出。这将腔内光强度与精细度相联系

当使用法布里-珀罗干涉仪评估具有高入射功率的光束时，必须牢记腔体内存储的功率随时间的推移而增加的事实。

光谱分辨力和Étendue

干涉仪的光谱分辨力是量化干涉仪光谱分辨率的度量，并且是瑞利判据的扩展。光谱分辨力SR定义为：

其中ν是光的频率，λ是其波长。可以证明，对于共焦法布里-珀罗干涉仪，SR由下式给出：

其中F是干涉仪的精细度，R是反射镜的曲率半径，λ是波长。但是，为了在干涉仪处于扫描模式时达到最大仪器轮廓，探测器孔径将需要无限小。随着孔径的增加，光谱分辨力开始下降。光谱分辨力必须与干涉仪的étendue保持平衡。étendue(U)是干涉仪的净聚光功率的度量。当光源是激光束时，étendue可以测量干涉仪和激光束之间的对准公差。étendue定义为最大允许立体角偏差(Ω)与最大允许孔径面积(A)的乘积。对于共焦系统，下式给出étendue：

其中F是干涉仪精细度，λ是波长，L是反射镜间距。为了使干涉仪正常工作，需要平衡光谱分辨力和étendue。对于这种平衡，可以接受的折衷办法是增加反射镜孔径，直到光谱分力降低70%(0.7*SR)(参考文献4)为止。在这种条件下，“理想”étendue变为π2λR/F，其中R是反射镜的半径。

参考文献

1. P. W. Milonni and J. H. Eberly, Lasers (John Wiley & Sons, Inc., 1988) p. 302.

2. P. Ehlers, Further Development of NICE-OHMS, Ph.D. thesis, Umeå University, Sweden, 2014.

3. D. Romanini et al., in Cavity-Enhanced Spectroscopy and Sensing, edited by G. Gagliardi and H.P. Loock (Springer, 2014), Vol. 179, Chap. 1, pp. 1 - 60.

4. M. Hercher, "The Spherical Mirror Fabry-Perot Interferometer," Applied Optics, vol. 7, no. 5, pp. 951 - 966, 1968.

5. J. Johnson, "A High Resolution Scanning Confocal Interferometer," Applied Optics, vol. 7, no. 6, pp. 1061 - 1072, 1968.

6. W. Demtröder, Laser Spectroscopy, Vol. 1: Basic Principles, (Springer, 2008) p. 152.

注

1. 从上述公式(1)可以看出，光路长度以及随后的自由光谱范围、精细度和模式宽度取决于与干涉仪光轴的光束偏移h。 因此，光束与光轴很好地对准可获得最佳性能。同样，入射到干涉仪上的高斯光束的曲率半径应等于相应反射面上反射镜的曲率半径。如果提供了良好准直的光束，则可以通过对准指南标签中的透镜建议来实现。

2. 所有Thorlabs法布里－珀罗干涉仪中的反射膜层均经过精心设计，使得在每种型号的整个工作波长范围内，最小F值均比最小指定精细度的1.5倍好。